Είναι παγκοσμίως γνωστή η προσφορά των αρχαίων Ελλήνων για την εκκίνηση και την ανάπτυξη των επιστημών. Οι πράξεις με αριθμούς, η γεωμετρία, η παρατήρηση σε ποσότητες και σε αναλογίες του φυσικού κόσμου, δεν θα μπορούσαν να είχαν μείνει αδιάφορα και να μην εκτιμηθούν σαν απαραίτητα πνευματικά εφόδια. Οι αριθμητικοί υπο­λογισμοί ήδη είχαν γίνει απαραίτητοι για την κατασκευή μεγάλων έργων, για τις συναλλαγές, για τη μέτρηση περιοδικών φαινομένων (όπως η εναλ­λαγή των ημερο­νυκτίων), για την πρόβλεψη αστρο­νομικών φαινο­μένων (όπως οι φάσεις της σελήνης και οι εκλείψεις), αλλά και για τη θεωρητική έρευνα του φυσικού κόσμου. Με τα μαθηματικά έχουν συνδεθεί γνωστά ονόματα του αρχαίου ελληνικού κόσμου.¹ Εκείνους τους αιώνες, οι συσ­σωρευμένες γνώσεις δεν είχαν μοιραστεί καθαρά σαν ξεχωριστές επιστήμες. Ακόμα, τα συγ­γράμματα ήταν ελάχιστα, από λίγους που είχαν μελετήσει ή ήταν δάσκαλοι και για λίγους ανθρώπους που είχαν την πολυτέλεια να μορφωθούν ή το έντονο ενδιαφέρον για να μάθουν. Η ανατύπωση ενός βιβλίου δεν ήταν μια εύκολη διαδικασία και η έλλειψη βιβλίων, εκτός των πολλών μειο­νεκτημάτων, εμπόδισε την εξοικείωση των φιλομαθών με τους σαφείς διαχωρισμούς στη γνώση και στον κόσμο, όπως πολλούς αιώνες αργότερα χρειάστηκαν αυτοί οι διαχωρισμοί για τη διδασκαλία και την αποτελε­σματική έρευνα. Έτσι κατα­λαβαίνουμε, ότι ακόμα και η μελέτη των αριθμών τότε δεν γινόταν αποκλειστικά από εκπαιδευμένους μαθημα­τικούς και καθαρά για επαγ­γελματικούς λόγους.

 

Πολλοί φιλόσοφοι και στοχαστές εκείνων των αιώνων είχαν αντι­ληφθεί, ότι οι αριθμοί κρύβουν μυστικά της φύσης και χρησιμεύουν για τις φυσικές διαδικασίες και για την ισορροπία του κόσμου (κοσμική τάξη) όπως και για τη δημιουργία. Ξέρουμε ότι ο Αριθμός κυριολεκτικά απο­θεώθηκε στη σχολή του Πυθαγόρα (6ος αιώνας π.Χ). Οι αριθμοί ήταν δομικά στοιχεία για την κατασκευή όλων των πραγμάτων της φύσης και σαν ουσία δεν ήταν κάτι το αισθητό. Έτσι διαισθητικά, η ουσία των πραγμάτων “απαλλάχτηκε” από τα αισθητά χαρακτηριστικά των υλικών σωμάτων και απέμειναν μόνο οι ιδιότητες των αριθμών για να εξηγηθεί η ποικιλία του φυσικού κόσμου και η τάξη του. Για τους φιλόσοφους της Πυθαγόρειας Σχολής και για όσους είχαν επηρεαστεί, η ποσότητα που καθορίζεται από αριθμούς δεν ήταν μόνο μια νοητική κατασκευή του ανθρώπου. Οι αριθμοί είχαν ιδιότητες και τις ιδιότητες τους μεταβίβαζαν ή τις επέβαλλαν στα πράγματα. Μάλιστα, μερικοί αριθμοί είχαν μια πλεονεκτική θέση στη σειρά τους, αλλά και μέσα στο φυσικό κόσμο. Οι ρητοί αριθμοί είχαν και αυτοί τις ιδιαιτε­ρότητές τους. Η έννοια του “απείρου” πάντοτε προκαλούσε απορίες και σκέψεις για κάποια αδυναμία της ανθρώπινης λογικής και χρησιμο­ποιήθηκε στην αρχαία φιλοσοφία σαν αρχή του κόσμου. Όμως, δεν άργησε να φανεί μια αδυναμία των οικείων αριθμών, που για έναν Πυθαγόρειο ήταν κάτι χειρότερο: έμοιαζε με βλασφημία και όπως αν κάποιος έδειχνε ένα ελάττωμα στη θρησκεία ενός πιστού ή στο θεό του. Ορισμένοι ρητοί αριθμοί και μάλιστα οι πρώτοι και οι πιο εύκολοι αριθμοί δεν μπορούσαν να υπο­λογιστούν και να δώσουν ακριβώς ως αποτέλεσμα ένα ρητό αριθμό. Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Λ.χ. 6/3 =2. Για να μετρηθούν μεγέθη μικρότερα μιας μονάδας μέτρησης έχει επινοηθεί η έννοια του κλάσματος. Όμως έτσι με κλάσμα μπορούν να δοθούν και οι πιο μεγάλοι αριθμοί. Οι ποσότητες που δεν μπορούν να παρασταθούν ως ακέραιες μονάδες συνήθως δίνονται ως κλάσματα, λ.χ. 3/2=1,5. Οι άρρητοι αριθμοί δεν είναι ακέραιοι ή υποπολλαπλάσια της μονάδας. “Άρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν μετριέται με τη Μονάδα, όπως συμβαίνει με τους Ρητούς Αριθμούς”.* Οι άρρητοι αριθμοί δεν έχουν κάποιο ακριβές ή συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Λ.χ. √2. Μετά την υπο­διαστολή, οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος ψηφίων, που δεν επανα­λαμβάνονται με μια σειρά. Λέγονται μη περιοδικοί αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Οι ρητοί αριθμοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν τους Πραγματικούς Αριθμούς.

Λέγεται, ότι την ύπαρξη άρρητων αριθμών φανέρωσε για πρώτη φορά ένας καλός μαθητής του Πυθαγόρα, ο Ίππασος και προκλήθηκε μεγάλη ανα­στάτωση στη Σχολή. Σίγουρα, όμως, κατά την αρχαιό­τητα όσοι προσπα­θούσαν να υπο­λογίσουν με θεω­ρητική ακρίβεια μια κατασκευή, συνάν­τησαν μεγέθη και κάποιους αριθμούς, που δεν μπορούσαν να δώσουν ένα ακριβές αποτέλεσμα όπως θα ήταν ένας δεκαδικός αριθμός με μικρό αριθμό ψηφίων. Στο απλό σχήμα ενός ορθογώνιου τριγώνου, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αν όμως οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκος 1 μέτρο η καθεμιά, τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ίσο με την τετραγωνική ρίζα του 2, δηλαδή 1,414235.... Ο πιο απλός αριθμός, ο δύο, ο οποίος μοιράζει μια ποσότητα σε δύο μέρη, αυτός ο ιδιαίτερος αριθμός σε τετραγωνική ρίζα (δηλαδή √2) δεν μπορεί να δώσει μοιρασμένη ακριβώς μια ποσότητα σε δύο ίσα μέρη! “Με όση επιμέλεια κι αν κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο που έχει εμβαδόν 2 τετραγωνικών μονάδων, είναι αδύνατον να εκφράσουμε το πλήθος των Μονάδων Μήκους της πλευράς αυτού του τετραγώνου σε Ακέραιους Αριθμούς, όπως θα κάναμε για ένα κοπάδι πρόβατα ενός ποιμνίου, αφού μία πλευρά δεν αποτελείται από χωριστά όντα, όπως το συγκεκριμένο ποίμνιο”.* Αν ακόμα χρειαστεί να εισαχθεί ένας τέτοιος άρρητος αριθμός (ο οποίος δεν είναι ολοκληρωμένος αριθμός) σε έναν υπολογισμό με ρητούς αριθμούς, τότε το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα έχει μια απόκλιση από το ακριβές αποτέλεσμα. Ακριβές αποτέλεσμα όπως θα ήταν ένας ρητός αριθμός τότε δεν βγαίνει. Σταματάμε το αποτέλεσμα μέχρι το επιθυμητό δεκαδικό ψηφίο και τότε μιλάμε για “ρητές προσεγ­γίσεις του αριθμού”. Η ακρίβεια θα είναι τόσο λιγότερη όσο λιγότερα ψηφία θα περι­λαμβάνει ο άρρητος δεκαδικός αριθμός.

 

Παρατηρώντας τα πράγματα με τις λεπτομέρειές τους και αναζητώντας τα όρια αρχής - τέλους μέσα στη φύση, εύκολα μπορεί κάποιος να διαπιστώσει, ότι στη φύση ένα οποιοδήποτε πράγμα δύσκολα μπορεί να απομονωθεί πλήρως από τα υπόλοιπα. Επίσης, τα όρια δεν είναι πάντα καθαρά και ακίνητα. Οι Έλληνες φιλόσοφοι από τα αρχαία χρόνια και πολλοί άλλοι μέχρι πρόσφατα στον 20ό αιώνα έχουν διαπιστώσει, ότι ακόμα και τα συνηθισμένα υλικά πράγματα δεν είναι τόσο απλά και πλήρως γνωστά, όσο πιστεύουμε. Αυτά έχουν πολλές πλευρές, συνδέονται με τα άλλα πράγματα από πολλές γωνίες, έχουν πολλές λεπτομέρειες στη μορφή τους και μια εσωτερική δομή, δεν είναι αμετάβλητα και αναλλοίωτα, διατηρούνται με διαδικασίες και τα μέρη τους εφαρμόζουν μεταξύ τους δυνάμεις, επηρεάζονται από το περιβάλλον τους και λοιπά. Να μην επανα­λάβουμε εδώ τα γνωστά προβλήματα που συνάντησε η έρευνα της μικρο­σκοπικής δομής της ύλης και τα γνωστά παράδοξα πολλών εκλαϊκευ­μένων βιβλίων. Το “φαινόμενο” ορισμένα υλικά σώματα να έχουν ψυχο­λογική αντίδραση και ζωή σαν εσωτερική ιδιότητα είναι από τα λιγότερο σαφή φαινόμενα και από τα πιο δύσκολα για να μετρηθούν και για να εφαρ­μοστούν υπολογισμοί. Αλλά και οι γλωσσικές εκφράσεις μας, με τις οποίες περιγράφουμε τα πράγματα και προσπαθούμε να συνεν­νοηθούμε, δεν μπορούν να μεταφέρουν όλες τις λεπτομέρειες αυτών και συνήθως περιο­ρίζονται σε ορισμένα χαρακτη­ριστικά τους.

 

Οι πρώτες σκέψεις για τους αριθμούς και οι πιο απλοί υπολογισμοί προδίδουν, ότι η σαφήνεια, η ακρίβεια δεν είναι απεριόριστα στη φύση. Επομένως το προσδιο­ρισμένο αποτέλεσμα δεν είναι πάντα εξα­σφαλισμένο με την εφαρμογή των πιο πολύπλοκων μαθηματικών και η μέτρηση της ποσότητας δεν έχει πάντα την ευκολία των ξεχωριστών και στατικών πραγμάτων. Απ' αυτές τις πρώτες σκέψεις απο­καλύπτονται ακόμα ορισμένοι αριθμοί από αναλογίες, με τους οποίους ορισμένα φυσικά φαινόμενα παράγονται και οι φυσικές διαδικασίες συντηρούνται, ενώ αυτοί οι αριθμοί μάλλον δεν είναι ρητοί, όπως θα το προτιμούσαμε. Ο πιο βέβαιος αριθμός που θεμελιώνει τη φύση είναι ο αριθμός π (όπως έχει συμβολιστεί η αναλογία της διαμέτρου με την περιφέρεια του κύκλου) και αυτός δεν είναι ρητός, δηλαδή δεν είναι ένας ολοκληρωμένος και ακριβής αριθμός. Σε όλες τις περιοδικές διαδικασίες της φύσης, τόσο στο μικρο­σκοπικό κόσμο όσο και στον αστρο­νομικό κόσμο εισέρχεται ο άρρητος αριθμός π. Για τη μέτρηση του ρυθμού της επανάληψης και για τη σύνδεση μεγεθών που μπορούν να παρασταθούν με ένα κέντρο, με μια ακτίνα και με μια περι­φερειακή κίνηση, στους υπολογισμούς εισέρχεται ο ο άρρητος αριθμός π. Ο αριθμός της Χρυσής Τομής Φ=1,6180339... επίσης δεν είναι ρητός αριθμός. Δεν πρέπει να υπο­βαθμιστεί αυτή η εύκολη θεωρητική παρα­τήρηση για την ύπαρξη των άρρητων αριθμών. Αντιθέτως πρέπει να μας παρακινεί σε σκέψεις και σε υποψίες, αν κάτι περισσότερο δεν μπορούμε να κατα­λάβουμε και αν καμία εξήγηση δεν μπορεί να δοθεί. Είναι αξιο­σημείωτο, ότι δύο άρρητοι αριθμοί είναι δυνατό να δώσουν αποτέλεσμα ένα ρητό αριθμό. 

 

Ακόμα μέχρι σήμερα, κάποιοι καταλαβαίνουν καθυ­στερημένα από τη δική τους περιοχή έρευνας, ένα φαινόμενο το οποίο εμφανίζεται και επανα­λαμβάνεται σε πολλές άλλες περιοχές έρευνας και σε διαφορετικά πράγματα. Αγνοούν ή υπο­βαθμίζουν ένα φαινόμενο το οποίο έχει παρα­τηρηθεί και καταγραφεί από άλλους, μέσα από διαφορετικές εμπειρίες και με τη σκέψη για άλλα πράγματα. Η σχετική ανακρίβεια των άρρητων αριθμών, η αύξηση της μικρής απόκλισης μετά από τον πολλα­πλασιασμό του μικρού μεγέθους (λ.χ. μετά από μεγάλο χρόνο ή απόσταση) και το λάθος που έτσι μπορεί να εμφανιστεί, η αδυναμία για σαφή προσδιορισμό ενός αποτελέσματος, αυτές οι διαπιστώσεις έτσι γενικά δεν είναι νέες και καθόλου παράδοξες. Κάποιοι άλλοι νομίζουν, ότι μια άποψη που είχε καταγραφεί σε πλήθος βιβλίων, τα οποία εκείνοι διάβασαν, νομίζουν ότι αυτή ήταν η άποψη όλων των ανθρώπων της γης και της κοινωνίας.² Αν αργότερα αυτή η άποψη προβληθεί ως λανθασμένη ή μονόπλευρη, και ιδιαίτερα αν αποδειχτεί μέσα από μια σύγχρονη έρευνα, τότε όσοι είχαν εξοικειωθεί με αυτή την έρευνα ενθουσιάζονται. Νομίζουν ότι όλοι είχαν μέσα στη σκέψη τους και στις συζητήσεις τους το δικό τους ζήτημα, και ότι άλλαξε η παγκόσμια ιστορία ή ότι διορθώθηκε ένα παγκόσμια λάθος ή ότι ανα­καλύφθηκε κάτι που κανένας δεν θα μπορούσε να σκεφτεί. Πιο συχνά, η άγνοια της πλειοψηφίας καταγράφεται ως άγνοια γενικά του ανθρώπου, για να μπορούν κάποιοι να εμφανίζονται πρωτοπόροι και για να διαφη­μίζονται οπτικό-­ακουστικές παραγωγές. Κάπως έτσι η ιστορία πράγματι αλλάζει με υπερβολές και με απόκρυψη της πραγμα­τικότητας, με σκοπό την ανάδειξη κάποιων προσπαθειών, αλλά και από την ευπιστία πολλών ανθρώπων που αδιαφορούν για το ζήτημα ή το εκμεταλ­λεύονται και το διαδίδουν.

 

* Το άρθρο γράφτηκε τον Απρίλιο του 2018. Προσαρτήθηκε στο ανολο­κλή­ρωτο βιβλίο "ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ ΚΑΙ Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ. Πνεύμα, θεός, ύλη και κόσμος στη φιλοσοφία". Επίσης συμπεριλήφθηκε και στην ψηφιακή έκδοση του 2020 με ISBN 978-618-85170-0-4

_________________

1 Μερικά από τα πιο γνωστά ονόματα: ο Θαλής ο Μιλήσιος, (640 ή 624 π.Χ. ~ 546 π.Χ.), η Θεανώ η Θουρία (της Κάτω Ιταλίας) περί τον 6ο αιώνα, ο Θεαίτητος ο Αθηναίος (415 π.Χ. ~ 369 π.Χ.), ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (300 π.Χ. ~ 270 π.Χ.), ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.~ 212 π.Χ.).

2 Θα υπενθυμίζουμε τέτοιες περιπτώσεις σε κάθε ευκαιρία

 

* Γίνεται κάποιος, ο οποίος είναι βαθύς γνώστης και πεπειραμένος να του διαφεύγουν σκέψεις και γνώσεις, να σχηματίζει λανθασμένες απόψεις και να τον διορθώνει ένας άσχετος; Είναι εσκεμμένη επιλογή να μην αυξάνω τον αριθμό των σελίδων με λεπτομέρειες και με συλλογή πληροφοριών από την εμπειρία. Προτείνω σε όσους θα το έβρισκαν ενδιαφέρον να ανατρέξουν στον ημερήσιο τύπο και στα περιοδικά για να συγγράψουν ένα βιβλίο με τις αποτυχίες, τις ανοησίες και τα λάθη των ειδικών.