|
Εξοικείωση με τους τύπους και τους υπολογισμούς
Μία από τις δυσκολίες που θα συναντήσει κάποιος ο οποίος δεν είναι φυσικός όταν επιχειρήσει να
κατανοήσει τη σχέση της ύλης με την ενέργεια είναι ποιες μονάδες μέτρησης θα πρέπει να χρησιμοποιήσει για να προκύψει το σωστό αποτέλεσμα.
Επίσης, η έννοια της ενέργειας δεν φανερώνει αμέσως και καθαρά στη σκέψη μας ποιο φαινόμενο
συνοψίζει, αλλά στη σελίδα παρακάτω, θα περιοριστούμε σε λίγους θεωρητικούς υπολογισμούς και δεν θα κάνουμε
περιγραφή και δεν θα δώσουμε έναν ορισμό του φαινομένου.
E = mοc2 Παράδειγμα υπολογισμού της ενέργειας (E) και της μάζας (m) με την πιο γνωστή εξίσωση. Εάν στον τύπο αυτό βάλουμε τη μάζα σε χιλιόγραμμα (kg) και την ταχύτητα του φωτός (c) σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο υψωμένη με τη δύναμη του τετραγώνου (m/sec)2 τότε το αποτέλεσμα θα είναι η ενέργεια σε μονάδες Joule.
Υπενθύμιση: 1 Joule ισούται με 1kgr m2/s2. Το
1eV =1,602176462 ×10-19 Joule και 1Joule = 0,62415097445
×1019 eV (ή 1,6×10-12 erg).
Δηλαδή, σύμφωνα με τις μονάδες της φυσικής, 1Joule είναι η δύναμη
1Newton × μετατόπιση 1m. Το 1
Newton ορίζεται ως η δύναμη που πρέπει να εφαρμοστεί σε ένα σώμα
μάζας ενός κιλού (1 kg) για να επιταχυνθεί κατά ένα μέτρο ανά
δευτερόλεπτο εις το τετράγωνο (1 m/s2).
Ας βρούμε σε πόση ενέργεια αναλογεί η μάζα του ηλεκτρονίου me με τη γνωστή εξίσωση.
|
ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗ ΜΑΖΑ ΗΡΕΜΙΑΣ
Eο=Μ c2 → Ee=Μe c2
Ee=
(9,109389 ×10-31 kg) × (8,9875513 ×1016 m/s) =
81,87110 ×10-15 J
Σε ηλεκτρονιοβόλτ (eV): 81,87110 ×10-15 J × 0,62415097445 ×1019 eV =51,09993
×104 eV/s
(ή 0,5109993 MeV/s)
|
|
ΜΑΖΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ Me ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ
M=E/c2 → Me= (51,09993 ×104 eV/s)
× (1,602176 ×10-19 J) / 8,9875513 ×1016 m2/s2
= 81,87110 ×10-15 J / 8,9875513 ×1016 m2/s2 =
9,109387 ×10-31 kg
|
|
Η ΣΤΑΘΕΡΑ h ΤΟΥ PLANCK ΕΚΦΡΑΣΜΕΝΗ ΣΕ ΜΟΝΑΔΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΒΟΛΤ eV
6,6260693 ×10-34 J sec
× 0,62415097445 ×1019 eV = 4,1356676 ×10-15 eV sec (ή eV/Hz)
|
|
Η ΣΤΑΘΕΡΑ h ΤΟΥ PLANCK ΕΚΦΡΑΣΜΕΝΗ ΣΕ ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Hz
Αφού ανά Hz (ή στο sec) αναλογούν 4,1356676 ×10-15 eV άρα για 1 eV χρειάζονται:
1Hz
·1eV / 4,1356676 ×10-15 eV = 0,241798929 ×1015 Hz (φορές
το h).
Το 1 eV = 2,41798929 ×1014 Hz (φορές το h)
1eV αντιστοιχεί σε συχνότητα n=241,8 THz (όπου 1THz =1012 Hz)
h =4,1356 ×10-15 eV/Hz = 1eV/241,8 THz
|
|
ΠΟΣΕΣ ΦΟΡΕΣ "ΧΩΡΑΕΙ" Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ ΠΛΑΝΚ ΣΤΗΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ? ΑΥΤΟΣ Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΝΕΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (f) Δηλαδή πόσες φορές η ενέργεια στον αριθμητή είναι μεγαλύτερη από τη σταθερά του Planck στον παρανομαστή (σε χρόνο 1 sec)
f= E/h =
c/λ
fe=Ee/h από μονάδες Joule: Ee
/ h = 81,87110 ×10-15 J / 6,6260693 ×10-34 J sec = 12,355907 ×1019 Hz (φορές ή 1/sec)
Από μονάδες eV: Ee / h = 51,09993
×104 eV/s / 4,1356676 ×10-15 eV sec = 12,355908 ×1019 Hz (φορές ή 1/sec )
Επί συχνότητα του 1eV: (fe=Ee
× feV/1eV): (51,09993
×104
eV) × (0,241798929 ×1015 Hz) /1eV = 12,355908 ×1019 Hz
|
|
1012 Hz=1THz και 1Hz=10-12 THz
|
Συχνότητα fe ηλεκτρονίου σε THz:
12,355908 ×1019 Hz ×10-12 THz = 12,355908 ×107 THz ή 123559,08
×103 THz
ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΜΑΖΑ ΑΠΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1eV
1Joule = 0,62415097445 ×1019 eV
→ 150,919037 ×1031 Hz
1eV = 1,602176462×10-19 J
→ 241,798929 ×1012 Hz
ή 241,798929 THz
m=E/c2 → 1ev × (1,602176 ×10-19 J) /c2 =
0,178266131 ×10-35
kg
|
ΜΑΖΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΑΠΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
h=E/f =Μc2/f →me= h fe/c2
= 6,6260693 ×10-34 J sec × 12,355908 ×1019 Hz / 8,9875513
×1016 m2/s2
= 81,87110 ×10-15 J / 8,9875513 ×1016 m2/s2 =
9,109389 ×10-31 kg
|
|
ΜΗΚΟΣ "ΚΥΜΑΤΟΣ" ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ λe το οποίο ονομάζεται μήκος Compton
Από μονάδες συχνότητας μπορούμε να βρούμε μήκος κύματος ή ακτίνα, από το γνωστό τύπο λ=c/f ή r=c/ω → λe = c / fe
λe=2,997
924 5 ×108 m/sec / 12,355908 ×1019 Hz =0,24263085 ×10-11m
Το ίδιο αποτέλεσμα βρίσκουμε με τον τύπο λ=h/Μc (μήκος Compton)
λe=
(6,6260693 ×10-34 J s) / me c = (6,6260693 ×10-34
J s) / (27,309262 ×10-23) =
0,24263084 ×10-11m
1m=109 nm και 1nm=10-9 m
0,24263084 ×10-11m ×109 nm = 0,24263084
×10-3 nm
(ή 2,4263084 ×10-4 nm)
Σύγκριση με το μήκος κύματος ορατού φωτός: 400 nm έως 700 nm (ή
4000 Å - 7000 Å ≈ 4 ×10-7 - 7 ×10-7 m ). Δηλαδή το μήκος Compton του ηλ είναι
περίπου 105 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος του φωτός
(10-7 / 10-12 ).
(Μονάδα μήκους ’νγκστρομ Å = 0,1nm = 1×10-10 m και micron ΅ = 1×10−6 m )
|
|
ΜΑΖΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΑΠΟ ΜΗΚΟΣ "ΚΥΜΑΤΟΣ"
λ=h/Μc →Μ=h /cλ =
6,626069 ×10-34 / (2,997 924 ×108 ) × (0,24263084 ×10-11 )=
6,626069 ×10-34
/ 0,727388 ×10-3 = 9,109401 ×10-31
kg
|
Από τα προηγούμενα παραδείγματα παρατηρούμε ότι η σταθερά h του Planck εκφράζει μία ελάχιστη ποσότητα δράσης, την οποία όταν πολλαπλασιάζουμε επί την ελάχιστη συχνότητα 1Hz προκύπτει μία ελάχιστη ποσότητα ενέργειας Emin = h
×1Hz. Η ελάχιστη ποσότητα δράσης επί κάθε άλλη συχνότητα μας δίνει πολλαπλάσια ποσότητα ενέργειας Ε=hf. Όταν αντιθέτως, διαιρούμε την ποσότητα ενέργειας με τη συχνότητά της προκύπτει η ελάχιστη ποσότητα ενέργειας h=E/f
Όταν πολλαπλασιάζουμε μία μάζα με την ταχύτητα του φωτός εις στο τετράγωνο προκύπτει ισοδύναμη ενέργεια E=mc2. Όταν αντιθέτως, διαιρούμε την ποσότητα της ενέργειας με την ταχύτητα του φωτός εις στο τετράγωνο προκύπτει ισοδύναμη μάζα m=E/c2
Σύμφωνα με τις προηγούμενες σχέσεις, η ισοδύναμη
μάζα Μ προκύπτει από το λόγο της Ενέργειας με τη σταθερή ποσότητα c2
και συνεπώς, όσο πιο μεγάλη είναι η ποσότητα της ενέργειας Ε=hf, ανάλογα πιο μεγάλη θα είναι
και η ισοδύναμη ποσότητα μάζας. Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε, ότι η αυξημένη ποσότητα
μάζας Μ σε αυτή την απλή σχέση συνδέεται με αυξημένη συχνότητα f, αφού η ποσότητα h
είναι επίσης σταθερή και με μειωμένο μήκος κύματος λ (σύμφωνα με τη σχέση λ=c/f).
Δηλαδή, χωρίς ιδιαίτερες γνώσεις φυσικής
παρατηρούμε τις σχέσεις:
Emax / c2
= Mmax = h fmax / c2 = h / c λmin
Η ελάχιστη ποσότητα ενέργειας που εκφράζεται μέσω της σταθεράς h (×1Hz) μπορεί να θεωρηθεί σαν το γινόμενο μίας μικρότερης μάζας επί c2 (δηλαδή Mmin c2). Συνεπώς, εάν η ελάχιστη ποσότητα της ενέργειας που εκφράζει
η σταθερά h διαιρεθεί με την ταχύτητα του φωτός εις στο τετράγωνο c2 προκύπτει μία ελάχιστη ποσότητα μάζας h/c2 =Mmin
sec. (Αν το μαθηματικό αποτέλεσμα θέλουμε να είναι καθαρά μάζα σε μονάδα kg μπορούμε τότε να πολλαπλασιάσουμε το h στον αριθμητή με τη μονάδα μίας ελάχιστης
συχνότητας f =1Hz)
Δηλαδή αν στη θέση της ενέργειας E το h*1Hz τότε :
h
1Hz/c2 =Mmin→6,6260693 ×10-34
J / 8,9875513 ×1016 m2/sec2 =0,737249 ×10-50
kg
(!) Μη ξεχνάμε ότι στις μικροσκοπικές διαστάσεις, η μάζα Μ δεν υπάρχει σε κατάσταση ηρεμίας και χρησιμοποιούμε τη μέτρηση σε
kg για λόγους κατανόησης, απλοποίησης
και διερεύνησης.
► Όπως από την ελάχιστη ποσότητα h προκύπτουν πολλαπλάσιες ποσότητες ενέργειας (E=hf), ισοδύναμα από την ελάχιστη ποσότητα Mmin προκύπτουν πολλαπλάσιες ποσότητες μάζας (M=Mmin
×f). Κατά συνέπεια, όταν διαιρούμε μία ποσότητα
μάζας m με την ελάχιστη ποσότητα Mmin προκύπτει μία συχνότητα της μάζας, όπως αντίστοιχα όταν διαιρούμε μία ποσότητα ενέργειας E με την ελάχιστη ποσότητα h προκύπτει μία συχνότητα για την ποσότητα της ενέργειας
f =Μ / Mmin ή Μ / (h/c2 ) και f =E/h
= Μc2 / h
Π.χ. f =Μe/Mmin→9,1093897
×10-31
kg / 0,73724967 ×10-50kg
=12,355908 ×1019 Hz Βρίσκουμε
το ίδιο αποτέλεσμα όπως με τον τύπο f = E/h
Το h πολλαπλασιασμένο με τη συχνότητα f μας δίνει το ίδιο αποτέλεσμα όσο το m πολλαπλασιασμένο με το c2 , δηλαδή την ίδια ποσότητα ενέργειας:
|
Μ
c2 = h f = E
και Μ = h f / c2 και Μ = h /cλ
ή Μ =
Mmin
× f
|
Επειδή το αντίστροφο της συχνότητας είναι ο χρόνος t = 1/f
ισχύει και t = h /E και t = Mmin /m
<•> Στη φυσική είναι γνωστό και πρέπει να το λάβουμε υπόψη μας, ότι η εφαρμογή του τύπου c= f λ για τον υπολογισμό της συχνότητας και του μήκους κύματος γίνεται μόνο για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και για τα φωτόνια που θεωρούνται χωρίς μάζα. Αυτό όμως δεν εμποδίζει να μιλάμε με όρους συχνότητας,
όταν παρατηρούμε φαινόμενα επανάληψης και ομοειδής ποσότητες που γίνονται πολλαπλάσιες ή υποπολλαπλάσιες.
* Το σύμβολο "→" στους τύπους
χρησιμοποιείται για το "συνεπάγεται".
|
