Η σχέση της μάζας με τη μεταβολή στη μέγιστη ταχύτητα των η/μ κυμάτων (5)

► ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΚΑΡΑΜΙΧΑ.

Για κάθε ταχύτητα Vg που βγαίνει από τον τύπο  V = √GM/r αντιστοιχεί θεωρητικά ένα σωματίδιο ορισμένης μάζας Μ. Όπως και αντίστροφα, για κάθε σωματίδιο μάζας Μ μπορεί να υπολογιστεί μία ορισμένη ταχύτητα Vg. Αν όμως η ταχύτητα του φωτός c είναι η ανώτερη ταχύτητα μέσα στο Σύμπαν, τότε πόση μάζα θα έχει το σωμάτιο, του οποίου θα βρίσκαμε την ταχύτητα c;  Η ταχύτητα αυτή προκύπτει η μέγιστη c για σωματίδιο μέγιστης μάζας Πλανκ Mpl =√(hc /G) = 5,45624 ×10^-8 kg.

Για να βγει η ταχύτητα του φωτός c από τον τύπο V = √GM/r η μάζα πρέπει να είναι ίση με την αποκαλούμενη στη φυσική μάζα Planck Mpl =√(hc /G). Δηλαδή c = √(G Mpl / λpl ).

Δηλαδή:

Υπό τον όρο ότι στον παρανομαστή του τύπου GM/r βάζουμε σαν ακτίνα r το μήκος Compton της Ενέργειας Planck λ=h/Μpl c. 

Από τη σχέση προκύπτουν με την απλή μέθοδο των τριών οι παρακάτω σχέσεις :

όπως: Mplanck = √(h c /G)    |     c = √(G Mpl / λpl ).

Οι παραπάνω σχέσεις συμφωνούν με το γνωστό τύπο της φυσικής V = √GM/r, αφού Vm =m c / Mplanck = √(G m / λm) όπου λm το μήκος Compton του σωματιδίου M από τη σχέση λ=h/M c αντί της ακτίνας r που ισχύει για τις μεγάλες μάζες. Η μονάδα m (μέτρα) παραμένει ίδια.

Δηλαδή

≈ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΗΣ ΚΑΙ ΗΛΙΟΥ ≈

Μάζα Γης   Mer : 5,973 ×10²⁴ kg

Μάζα Ήλιου Ms :  1,99 ×10³⁰ kg

Μέση απόσταση Ήλιου-Γης rers :

1,495978 ×10¹¹ m

Μέση ταχύτητα περιφοράς της Γης:

2,9784 ×10⁴ m/sec (σε 365,2564 μέσες ηλιακές ημέρες).

Μήκος τροχιάς: 9,4 ×10¹¹ m

Διάμετρος Γης: 12,7574 ×10⁶ m

Διάμετρος Ήλιου: 13,92 ×10⁸ m

G = 6,6725 ×10^-11 m³/kg sec²  

c = 2,997924 ×10⁸ m/sec

Fers = G Mer  Ms / r²    (Δύναμη έλξης μεταξύ 2 σφαιρικών  σωμάτων).

Fers = (6,6725 ×10^-11 ) (5,973 ×10²⁴ ) (1,99 ×10³⁰ ) / (1,495978 ×10¹¹ m)² 

Fers = G (11,886 ×10⁵⁴ ) / 2,23795 ×10²²

Fers = 79,3093 ×10⁴³ /  2,23795 ×10²²

Fers = 35,4383 ×10²¹ Newton 

35,4383 ×10²¹ × r² = 79,3093 ×10⁴³

Δηλαδή Fers r² = G Mer Ms

► Ο γνωστός τύπος G M / r² μας δίνει την επιτάχυνση g που προκαλεί η δύναμη Fg της βαρύτητας ενός σώματος με μάζα Μ, δηλαδή g = G M / r² και σε ακτίνα r. Εάν λοιπόν βάλουμε τα στοιχεία του πλανήτη μας θα βρούμε περίπου την επιτάχυνση που προκαλεί το βαρυτικό πεδίο του στην ακτίνα r.

g = G M / r² → (6,6725 ×10^-11 ) × (5,973 ×10²⁴ ) / (6,3787 ×10⁶ )² = 39,8548 ×10¹³ / 40,68781 ×10¹² = 9,795  m / sec²

► Για να δούμε τι επιτάχυνση βρίσκουμε από τον ίδιο τύπο g = G M / r² όταν στον παρανομαστή βάλουμε για ακτίνα τη μέση απόσταση της Γης μέχρι τον Ήλιο rers = 1,495978 ×10¹¹ m και με μάζα Mer = τη μάζα της Γης:

g = G Mer / rers² → (6,6725 ×10^-11 ) × (5,973 ×10²⁴ ) / (1,495978 ×10¹¹ )² = 17,8086 ×10^-9 m/s²

Δηλαδή την ίδια επιτάχυνση όπως με τον τύπο Fers / Ms όταν βάλουμε τη μάζα του Ήλιου στον παρανομαστή και -προσέξτε- όχι της Γης. Δηλαδή

g = G Mer / rers² = Fers / Ms

g = Fers / Ms → 35,4383 ×10²¹ / 1,99 ×10³⁰ = 17,808 ×10^-9 m/s²

► Με μάζα Ms = τη μάζα του Ήλιου :

g = G Ms / rers² → (6,6725 ×10^-11 ) × (1,99 ×10³⁰ ) / (1,495978 ×10¹¹ )² = 5,9332 ×10^-3 m/s²

Δηλαδή την ίδια επιτάχυνση όπως με τον τύπο Fers / Mer όταν βάλουμε τη μάζα της Γης στον παρανομαστή και -προσέξτε- όχι του Ήλιου. Δηλαδή

g = G Ms / rers² = Fers / Mer

g = Fers / Mer → 35,4383 ×10²¹ / 5,973 ×10²⁴ = 5,933 ×10^-3 m/s²

Δηλαδή: G M₁ / r² = F / M₂

► Εάν ο τύπος γίνει GM/r το αποτέλεσμά του σε μονάδες είναι ταχύτητα στο τετράγωνο V² . Με ρίζα στο αποτέλεσμα απομένει καθαρά η ταχύτητα V, δηλαδή V = √GM/r. Η ταχύτητα περιφοράς των δορυφόρων γύρω από τη γη δίνεται από αυτή τη σχέση.

Από τον ίδιο τύπο V = √GM/r βρίσκουμε την ταχύτητα περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο σε μέση ακτίνα : r = 1,495978 ×10¹¹ m

V = √(G Msun / r ) = √( 13,2782 ×10¹⁹ / 1,495978 ×10¹¹ )= √8,875982 ×10⁸ →

V = 2,979 ×10⁴ m/sec  (Αυτή είναι η μέση ταχύτητα περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο).

Την ίδια αυτή ταχύτητα V=2,979 ×10⁴ του τύπου V = √G Msun / r τη βρίσκουμε από τον τύπο √ Fers x rers / Mer  όταν βάλουμε την άλλη μάζα (της Γης Μer και όχι του Ήλιου). Δηλαδή :

√(G Msun / rers ) = √(Fers x rers / Mer ) = V

(διότι G Mer Ms / r = Fers r = E )

► Μπορούμε να βρούμε επίσης την ταχύτητα της περιστροφής από τον απλό τύπο V = r 2π / Τ όταν γνωρίζουμε την απόσταση r 2π από την κεντρική μάζα και τον χρόνο Τ μίας πλήρους περιστροφής.

► Ο τύπος V = √ (2 G M / r ) βγάζει την ταχύτητα που χρειάζεται να αποκτήσει ένα σώμα για να ξεφύγει από το βαρυτικό πεδίο ενός σώματος μάζας Μ και για ακτίνα r και την ταχύτητα αυτήν την αποκαλούν "ταχύτητα διαφυγής". Π.χ. για την Γη προκύπτει :

V = √ (2 G 5,973 ×10²⁴ / 6,3787 ×10⁶ ) = √(79,709685 ×10¹³ / 6,3787 ×10⁶ )→

V = √ 12,496227 ×10⁷ = 11,178 ×10³ m/sec

► Σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική, έχουμε βρει τη δύναμη F μεταξύ των μαζών της Γης και του Ήλιου και την ταχύτητα της περιφοράς της Γης (κεντρομόλος ταχύτητα V=2,979 ×10⁴ m/sec) γύρω από τον Ήλιο. Γνωρίζουμε τη μέση απόστασή τους και το μήκος της τροχιάς που ακολουθεί η Γη όπου είναι η μέση απόσταση τους r × 2π = 9,4 ×10¹¹ m

Οι γνωστοί τύποι, μας επιτρέπουν να βρούμε την περίοδο μίας ολοκληρωμένης περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή το χρόνο μέχρι να συμπληρωθεί μία περιστροφή. Το χρόνο αυτό τον βρίσκουμε σύμφωνα με τον τύπο T = r × 2π / Vκ

T = r x 2π / Vκ → 9,4 ×10¹¹ / 2,979 ×10⁴ = 3,155421 ×10⁷ sec

Το αποτέλεσμα είναι σε δευτερόλεπτα, διότι χρησιμοποιήσαμε ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο και μήκος τροχιάς πάλι σε μέτρα. Εάν μετατρέψουμε τα δευτερόλεπτα σε ημέρες θα δούμε το γνωστό αριθμό των ημερών ενός γήινου έτους.

3,155421 ×10⁷ sec / 60 / 60 / 24 = 365,21 ημέρες (δηλαδή 24ωρα). Η μικρή απόκλιση από το ακριβές αποτέλεσμα δεν μας απασχολεί εδώ.

► Η δύναμη F μεταξύ του Ήλιου και της Γης είναι κεντρομόλος δύναμη και την εκφράζει ο τύπος :

F = M V² / r → F = 5,973 ×10²⁴ (2,979 ×10⁴ )² / 1,495978 ×10¹¹ = 35,43303 ×10²¹ N

Βρίσκουμε την ίδια δύναμη Ν όπως από τον τύπο του Νεύτωνα με τις 2 μάζες. Να παρα­τηρήσουμε ότι στον τύπο F = M V² / r βάλαμε τη μάζα της Γης Μ που βρίσκεται σε τροχιά ακτίνας r με ταχύτητα V και όχι τη κεντρική μάζα του Ήλιου.

Η σχέση V² / r = a =g όπως η σχέση F / Mer

Μπορούμε να γράψουμε F = M V² / r = M g

Με τη δύναμη F που βρίσκουμε από τον τύπο F = M V² / r μπορούμε να βρούμε τη δεύτερη μάζα M₂ εκείνη με την οποία εφαρμόζεται ή θα εφαρμοζόταν αμφίπλευρα η παραπάνω δύναμη F. Θα χρειαστεί ο τύπος του Νεύτωνα :

M₂ = F r² / G M₁ → 35,43303 ×10²¹ × (1,495978 ×10¹¹ )² / G 5,973 ×10²⁴ = 1,9896 ×10³⁰ kg (Μάζα Ήλιου)

Βάλαμε τους αριθμούς που γνωρίζουμε για τη μάζα Μ της Γης, την ταχύτητα V στην τροχιά της και την απόσταση r από τον ήλιο και με τον τελευταίο τύπο βρήκαμε τη κεντρική μάζα του Ήλιου. Με τους ίδιους τύπους μπορούμε να βρούμε οποιαδήποτε άλλη δεύτερη μάζα, όταν φανταστούμε οποιαδήποτε μάζα σε τροχιά, με οποιαδήποτε ταχύτητα και ακτίνα.

Οι απλούστερες σχέσεις της φυσικής, τις οποίες χρησιμοποιούν οι πιο ικανοί ερευνητές για να επιλύσουν τα πιο μπερδεμένα μαθηματικά προβλήματα και για να βρουν λύσεις στα αδιέξοδα της σύγχρονης φυσικής, αυτές οι σχέσεις έπρεπε να είχαν συμπληρωθεί και να είχαν οριοθετηθεί από τους επαγγελματίες φυσικομαθηματικούς. Χάθηκαν πολλές δεκαετίες και τώρα απο­καλύπτεται, ότι οι απλούστεροι τύποι της φυσικής μπορούσαν να έχουν συμ­πληρωθεί από ένα μαθητή της μέσης εκπαίδευσης!