► Ο γνωστός τύπος
G M / r2
μας δίνει την επιτάχυνση g που προκαλεί η δύναμη Fg της βαρύτητας ενός σώματος με μάζα Μ, δηλαδή
g = G M / r2 και σε ακτίνα r. Εάν λοιπόν βάλουμε τα στοιχεία
του πλανήτη μας θα βρούμε περίπου την επιτάχυνση που προκαλεί το βαρυτικό πεδίο του στην ακτίνα r.
g = G M / r2 → (6,6725 ×10-11 )
× (5,973 ×1024 ) / (6,3787 ×106 )2
= 39,8548 ×1013 / 40,68781 ×1012 =
9,795 m / sec2
► Για να δούμε τι επιτάχυνση βρίσκουμε
από τον ίδιο τύπο g = G M / r2 όταν στον παρανομαστή βάλουμε για ακτίνα τη μέση
απόσταση της Γης μέχρι τον Ήλιο
rers
= 1,495978 ×1011
m και με μάζα
Mer
= τη μάζα της Γης:
g = G Mer / rers2 →
(6,6725 ×10-11 ) × (5,973 ×1024 )
/
(1,495978
×1011
)2 = 17,8086 ×10-9 m/s2
Δηλαδή την ίδια επιτάχυνση όπως με τον τύπο
Fers
/ Ms
όταν βάλουμε τη μάζα του Ήλιου στον παρανομαστή και -προσέξτε- όχι της Γης.
Δηλαδή
g = G Mer
/ rers2
=
Fers
/ Ms
g =
Fers
/ Ms
→
35,4383 ×1021
/
1,99 ×1030
= 17,808 ×10-9 m/s2
►
Με μάζα
Ms
= τη μάζα του Ήλιου :
g = G Ms / rers2 →
(6,6725 ×10-11 ) × (1,99 ×1030
) /
(1,495978
×1011
)2 = 5,9332 ×10-3 m/s2
Δηλαδή την ίδια επιτάχυνση όπως με τον τύπο
Fers
/ Mer
όταν βάλουμε τη μάζα της Γης στον παρανομαστή και -προσέξτε- όχι του Ήλιου.
Δηλαδή
g = G Ms
/ rers2
=
Fers
/ Mer
g =
Fers
/ Mer
→
35,4383 ×1021
/
5,973 ×1024 =
5,933 ×10-3 m/s2
Δηλαδή: G
M1 / r2 = F / M2
►
Εάν ο τύπος γίνει
GM/r το αποτέλεσμά του σε μονάδες είναι ταχύτητα στο τετράγωνο
V2
. Με ρίζα στο αποτέλεσμα απομένει καθαρά η ταχύτητα V, δηλαδή V =
√GM/r. Η ταχύτητα περιφοράς των δορυφόρων γύρω από τη γη δίνεται από αυτή τη σχέση.

Από τον ίδιο τύπο V =
√GM/r βρίσκουμε την ταχύτητα περιφοράς της Γης γύρω
από τον Ήλιο σε μέση ακτίνα : r =
1,495978 ×1011
m
V = √(G
Msun
/ r )
= √(
13,2782 ×1019 /
1,495978 ×1011 )=
√8,875982 ×108 →
V
= 2,979 ×104
m/sec (Αυτή είναι η μέση ταχύτητα περιφοράς της Γης
γύρω από τον Ήλιο).
Την ίδια αυτή ταχύτητα V=2,979 ×104
του τύπου V =
√G Msun
/ r τη βρίσκουμε από τον
τύπο √
Fers
x
rers
/ Mer
όταν βάλουμε την άλλη μάζα (της Γης Μer
και όχι του Ήλιου). Δηλαδή :
√(G Msun
/
rers
) = √(Fers
x
rers
/ Mer
) = V
(διότι
G Mer
Ms / r = Fers
r = E )
►
Μπορούμε να βρούμε επίσης την ταχύτητα της περιστροφής
από τον απλό τύπο V = r 2π / Τ όταν γνωρίζουμε την απόσταση r 2π από την κεντρική
μάζα και τον χρόνο Τ μίας πλήρους περιστροφής.

►
Ο τύπος
V = √ (2 G M / r )
βγάζει την ταχύτητα που χρειάζεται να
αποκτήσει ένα σώμα για να ξεφύγει από το βαρυτικό πεδίο ενός σώματος μάζας Μ και για ακτίνα
r και την ταχύτητα αυτήν την αποκαλούν "ταχύτητα διαφυγής".
Π.χ. για την Γη προκύπτει :
V = √ (2 G
5,973 ×1024
/ 6,3787 ×106 ) = √(79,709685
×1013 / 6,3787 ×106 )→
V
=
√
12,496227 ×107 =
11,178 ×103 m/sec
►
Σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική, έχουμε βρει τη
δύναμη F μεταξύ των μαζών της Γης και του Ήλιου και την ταχύτητα της περιφοράς της Γης
(κεντρομόλος ταχύτητα V=2,979 ×104
m/sec) γύρω από τον Ήλιο. Γνωρίζουμε τη μέση απόστασή τους και το μήκος της τροχιάς που ακολουθεί η Γη όπου είναι η μέση απόσταση
τους r × 2π = 9,4 ×1011
m
Οι γνωστοί τύποι, μας επιτρέπουν
να βρούμε την περίοδο μίας ολοκληρωμένης περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή το χρόνο
μέχρι να συμπληρωθεί μία περιστροφή. Το χρόνο αυτό τον βρίσκουμε σύμφωνα με τον τύπο T = r
×
2π / Vκ

T = r
x
2π / Vκ
→ 9,4 ×1011
/ 2,979 ×104
= 3,155421 ×107
sec
Το αποτέλεσμα είναι σε δευτερόλεπτα, διότι
χρησιμοποιήσαμε ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο και μήκος τροχιάς πάλι σε μέτρα. Εάν
μετατρέψουμε τα δευτερόλεπτα σε ημέρες θα δούμε το γνωστό αριθμό των ημερών ενός γήινου έτους.
3,155421 ×107
sec / 60 / 60 / 24 = 365,21 ημέρες (δηλαδή 24ωρα). Η μικρή απόκλιση από το ακριβές αποτέλεσμα
δεν μας απασχολεί εδώ.
► Η δύναμη F
μεταξύ του Ήλιου και της Γης είναι κεντρομόλος δύναμη και την εκφράζει ο τύπος :

F = M V2
/ r → F =
5,973
×1024
(2,979 ×104
)2
/ 1,495978 ×1011
= 35,43303 ×1021
N
Βρίσκουμε την
ίδια δύναμη Ν
όπως από τον τύπο του Νεύτωνα με τις 2 μάζες. Να παρατηρήσουμε ότι στον τύπο F = M V2
/ r βάλαμε τη μάζα της Γης Μ που βρίσκεται σε τροχιά ακτίνας r με ταχύτητα V και όχι τη κεντρική
μάζα του Ήλιου.
Η σχέση
V2
/ r =
a =g
όπως η σχέση F / Mer
Μπορούμε να
γράψουμε F =
M V2
/ r =
M g
Με τη δύναμη F που βρίσκουμε από τον τύπο F = M V2
/ r μπορούμε να βρούμε τη δεύτερη μάζα M2 εκείνη με την οποία εφαρμόζεται ή θα
εφαρμοζόταν αμφίπλευρα η παραπάνω δύναμη F. Θα χρειαστεί ο τύπος του Νεύτωνα :

M2 = F r2
/ G M1 → 35,43303 ×1021
× (1,495978 ×1011
)2
/ G 5,973 ×1024 = 1,9896 ×1030
kg (Μάζα Ήλιου)
Βάλαμε τους αριθμούς που γνωρίζουμε για τη μάζα Μ
της Γης, την ταχύτητα V στην τροχιά της και την απόσταση r από τον ήλιο και με τον τελευταίο
τύπο βρήκαμε τη κεντρική μάζα του Ήλιου. Με τους ίδιους τύπους μπορούμε να βρούμε οποιαδήποτε
άλλη δεύτερη μάζα, όταν φανταστούμε οποιαδήποτε μάζα σε τροχιά, με οποιαδήποτε ταχύτητα και
ακτίνα.
|